CÁLCULO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS EN EDUCACIÓN PRIMARIA

¿Por qué no mejoran los resultados del alumnado español?

Desde hace décadas ha ocupado un lugar destacado entre los contenidos de las etapas educativas obligatorias el cálculo y la resolución de problemas aritmético-verbales, tanto en la práctica pedagógica de los maestros, como por los investigadores, considerando en su mayoría qué contenido es el más adecuado para enseñar las matemáticas desde los primeros niveles educativos. Pero, las más de las veces, los problemas que se incluyen en los materiales editados son más bien “ejercicios” destinados a practicar algoritmos concretos, que auténticos problemas capaces de exigir la utilización de estrategias para implementar un mayor desarrollo cognitivo en el alumnado. Así mismo, no suelen tener en cuenta la progresividad evolutiva de sus diferentes tipos de problemas.

Las legislaciones españolas, al menos de las tres últimas décadas, reconocen como fundamental la resolución de problemas aritmético-verbales, pero obviando las aportaciones científicas que la investigación educativa aporta e ignorando o al menos no implementando los déficits en los aprendizajes detectados en los informes internacionales (como PISA, TIMMS). Las administraciones educativas no han sido capaces de dotar de contenido científico el currículo, ni de implementar esas propuestas de mejora, en lo que a este ámbito respecta, aportando criterios de clasificación y ordenamiento jerarquizados por niveles en los que deben ser abordados en razón de la dificultad que plantea su resolución. Una vez tras otra los informes internacionales indican que España no mejora en el rendimiento en concreto de la resolución de problemas aritméticos.

¿Dónde residen las dificultades para el cálculo y para la resolución de problemas aritméticos-verbales?

Teniendo en cuenta que tradicionalmente el modelo curricular español es abierto, esto hace que sea necesaria la concreción y contextualización en un nivel de programación posterior, lo cual no se suele concretar de forma más específica en las programaciones ni en los libros de texto. Sin embargo, esta planificación evolutiva sí ha sido contemplado por algunos materiales de algunas editoriales. Esto también proviene de unos proyectos curriculares y programaciones poco realistas. En muchos casos el proyecto curricular de la mayoría de los centros viene a “sustentarse” en las ofertas de las editoriales de los libros de texto que se los dan casi elaborados.

En estos proyectos curriculares suelen mostrar una gran desproporción entre los tipos y subtipos de problemas que incluyen en cada nivel y en cada libro de texto/cuadernillo, así como la cantidad de problemas presente en cada curso. No existe un criterio pedagógico que explique o justifique su selección, y por qué unos tipos sí y otros no. Esto nos permite afirmar que no existe un soporte conceptual ni evolutivo (por curso y nivel de dificultad) que facilite su implementación en las programaciones de aula ni en los materiales de apoyo. Parece que estos proyectos curriculares están más bien enfocados a ejercicios con las operaciones aritméticas que se están enseñando en cada tema. El orden en el que suelen ser presentados suele venir dado por un criterio, explícita o implícitamente aceptado, que es la presunta dificultad que ofrece cada uno de ellos en función de la operación necesaria para resolverlos y no de la comprensión lectora de los enunciados. Así pues, se podría afirmar que se trata de meros instrumentos para poner en práctica de manera comprensiva la habilidad obtenida en el cálculo, pero no para aprender estrategias para la resolución de problemas.

Otro fallo implícito permite inferir al alumnado que, para resolver un problema, hay que hacer algo con todos los números empleados en el enunciado, identificando claves que elicitan la aplicación de estrategias superficiales para su resolución. Suelen incluir frases que pueden inducir al error como “problemas de suma” o “problemas de resta”, evidenciándose que el alumnado fracasa en la resolución de problemas cuando se les exige para ser resueltos que se haga algo más que buscar los datos y alguna palabra que sugiera el uso de una operación conocida.

Los problemas verbales desarrollan la capacidad de razonamiento lógico y las habilidades de numeración y de cálculo junto a las competencias aritméticas, y que se deben desarrollar en paralelo, conectando las matemáticas con el mundo real, aportando la motivación hacia dicha área curricular.

Para la evaluación del nivel de aprendizaje y de las dificultades diseñamos las Baterías Cespro que están compuestas por un total de siete baterías para diferentes niveles educativos, cuyo fin es la evaluación de la comprensión de las estructuras sintáctico-semánticas que componen los enunciados de los problemas aritmético-verbales y las estrategias necesarias para su resolución, incorporando la valoración de:

A. Comprensión/Elección de algoritmos;

b. Resolución de Operaciones/Cálculos;

c. Elección de Solución, junto a una valoración global incorporando, a su vez, las estrategias de resolución de operaciones básicas de cálculo (con identificación del tipo de errores cometido, y el tipo de operaciones que realiza de forma adecuada),yde numeración (conceptos de comparación, correspondencia, clasificación, seriación, conteo, conocimiento general de la numeración -valor de los números-).

A partir de estos criterios se puede establecer cuatro categorías básicas de problemas de suma y resta:

a. Problemas de cambio,

b. Problemas de combinación,

c. Problemas de comparación,

d. Problemas de igualamiento.

Sobre la clasificación de los problemas de multiplicación y división no existe tanto consenso como con los problemas de adición y sustracción. Desde nuestra perspectiva la clasificación de los problemas de multiplicación y división se produce, en primer lugar, según se trate de situaciones asimétricas o simétricas. Por su parte, en los problemas de situación simétrica hay tres espacios de medida quese subdividen en problemas de áreas y matrices, y problemas de combinación. Otro concepto a tener en cuenta es lo que se denomina como cantidades extensivas, que son aquellas que tienen una extensión que corresponde a algo del mundo real; pueden ser continuas (masa, capacidad, longitud…) o discontinuas (como dinero, objetos…).

En los problemas de división se incluyen diferentes variaciones en función de las estrategias que utilizan los niños para resolverlos:

a. División partitiva o división de reparto

b. División cuotitiva o división agrupamiento (o división-medida). Existen diferentes tipos:

• Problemas de Agrupamiento-Reparto
• Problemas de Tasa y Razón
• Problemas de Conversión;
• Problemas de Comparación Multiplicativa.

¿Dónde está la génesis de este problema en la enseñanza primaria?

Pues está en la Facultades de Educación/Escuelas de Magisterio en las cuales no se les enseña esto ni ningún otro plan específico de aprendizaje de las matemáticas para que los futuros maestros estén capacitados para enseñarlo.

Valga a modo de ejemplo, en el estudio de los libros de textos de la mayoría de las editoriales y de los programas que les sustentan, los que predominan son los problemas de combinación (50,4% del total de problemas incluidos). Entre los problemas de cambio se proponen problemas de cambio 1 y 2, pero apenas aparecen del tipo de cambio 3 a 6. Los de comparación son los que menos se incluyen en sus propuestas (6,8% del total), siendo muy dispar el número que incluye cada editorial, y teniendo mayor presencia los de tipo cambio. No se incluyen los problemas de igualación. Así mismo se observa la ausencia de estrategias para comprensión lingüística/verbal de la estructura del problema, así como encaminadas a identificar el algoritmo de cálculo que permita identificar qué operación permite encontrar el dato desconocido o incógnita.

En base a estas conceptualizaciones investigamos su grado de significatividad y se confeccionó la Batería Cespro y así como el material complementario de trabajo a las adaptaciones curriculares “Cuadernos de Cálculo y Numeración” y “Cuadernos de Resolución de Problemas”, todos ellos pertenecientes a la colección HIPATIA, todo ello en función de los estudios de TRI (Teoría de Respuesta al ítem) y de la Teoría Clásica de los test. En su monografía se indica de forma conceptual y mediante ejemplificaciones los diferentes tipos de problemas, así como su significatividad en cada nivel. Eso se plasmó en la colección de cuadernos de Hipatia con tres cuadernillos para cada nivel educativo tanto de numeración y cálculo como de resolución de problemas. 

Una ayuda para su desarrollo e implementación pueden ser los materiales:

Cuadernos de Cálculo y Numeración. Colección Hipatia. 18 Cuadernos de 1º a 6º, tres cuadernos por cada nivel E. Primaria. Editorial CEPE.

Cuadernos de Resolución de problemas. Colección Hipatia. 18 Cuadernos de 1º a 6º, tres cuadernos por cada nivel E. Primaria. Ed. CEPE.

Bilbiografía

Trallero Sanz, M., Galve Manzano, J.L., Martínez Arias, R., Trallero de Lucas, C., Dioses Chocano, A.S., Abregú Tueros, L.F. e Inca Maldonado, C.I. (2016). CESPRO. Batería para la evaluación de la Comprensión de las estructuras sintáctico-semánticas que componen los enunciados de los problemas matemáticos y de la utilización de estrategias algorítmicas para su resolución. Ed. Giunti/EOS.

Trallero Sanz, M., Galve Manzano, J.L., Trallero de Lucas, C., y Inca Maldonado, C.I. (2017). La resolución de problemas aritméticos en la enseñanza obligatoria. Ed. Giunti/EOS. Monografía.

José Luis Galve Manzano

Dr. en Psicología.
Catedrático de Psicología y Pedagogía de E.S.
Orientador.
Maestro.
Coordinador de CIDEAS. Colectivo para la Investigación y Desarrollos Educativos Aplicados.
jlgalve@telefonica.net